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(गणित) सरलीकरण के top 5 सूत्र Top 5 Formulas of Simplification (math)

सरलीकरण ( Simplification ) 

जब किसी व्यंजक में एक साथ एक से अधिक संक्रियाएँ (कोष्ठक , योग , अन्तर , गुणा , भाग , या का) हों, तो उन्हें सरल करने के लिए BODMAS क्रम का पालन करते हैं।

B – कोष्ठक (Bracket)
      Vi (रेखा कोष्ठक), Ci (छोटा कोष्ठक),
       Cu (मझला कोष्ठक), Sq (बड़ा कोष्ठक)
O – का (Of)
D – भाग (Division)
M – गुणा (Multiplication)
A – योग (Addition)
S – अन्तर (Subtraction)

उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है|

नोट – यह आवश्यक नहीं है कि किसी प्रश्न में समस्त संकेत (का , + , X , + , -) दी हुई हो, कोई भी संक्रिया अनुपस्थित रह सकती है। किन्तु क्रम वही बना रहेगा| जैसे – किसी प्रश्न में ‘का’ दिया हो पुन: ‘+’ अनुपस्थित हो, तो उसी क्रम में आगे (x, +, -) की संक्रिया करते हैं।

अर्थात् यदि किसी प्रश्न में उपरोक्त सभी प्रक्रियाएँ हों, तो सबसे पहले कोष्ठकों की संख्याओं को हल करते हैं, तत्पश्चात् ‘का’ की क्रिया, अर्थात् गुणा (of) इन सभी के बाद भाग, गुणा, जोड़ तथा घटाव की क्रिया करते हैं। अन्त में हल करके जो मान आता है, वही सरलीकरण का सबसे सरल (संक्षिप्त) रूप होता है; जैसे –
1 × 3/4 – [3 × 1/8 ÷ {6 – (2 × 3/4 – 11/12)}] का सरलतम रूप निम्न प्रकार से चरणबद्ध प्राप्त करेंगे –
 1 × 3/4 – [3 × 1/8 ÷ {6 – (11/4 – 11/12)}]
           = 7/4 – [25/8 ÷ {6 – (33 – 11 / 12)}]
           = 7/4 – [25/8 ÷ {72 – 22 / 12}]
           = 7/4 – [25/8 × 12/50]
           = 7/4 – [6/8]
           = 14 – 6 / 8
           = 8/8
           = 1

सरलीकरण के व्यंजक निम्नलिखित विषयों पर आधारित हो सकते हैं
1 . सामान्य गणना ( General Calculation )
2 . बीजगणितीय विधि से गणना ( Calculation by Algebraic Method )
3 . साधारण एवं दशमलव भिन्न ( Simple and Decimal Fraction )

1 . सामान्य गणना ( General Calculation ) सामान्य गणना के अन्तर्गत जोड़, घटाव, गुणा, भाग आदि की संक्रियाएँ आती हैं; जैसे –
3 x [ 4 + 63 x 7 – 6 ÷ 3 ]
               = [4 + 441 – 6/3] x 3
               = [ 445 – 21] × 3
               = [ 443 ] x 3
               = 1329
             
2 . बीजगणितीय विधि से गणना ( Calculation by Algebraic Method ) कुछ गणनाएँ बीजगणितीय सूत्रों का सहारा लेकर की जाती हैं; इन सूत्रों की सहायता से व्यंजक को सरल करने में काफी कम समय लगता है; जैसे –

        (0.5)³ + (0.6)³ / (0.5)² – (0.3) + (0.6)²
     
 माना 0.5 = a तथा 0.6 = b

 तब   a³ + b³ / a² – ab + b²
       = (a + b) (a² – ab + b²) / (a² – ab + b²)                                 
        = a + b
     
 इस प्रकार,     a + b = 0.5 + 0.6 = 1.1

3 . साधारण एवं दशमलव भिन्न पर आधारित गणना ( Calculation Based on Simple and Decimal Fraction ) इस प्रकार के व्यंजक साधारण एवं दशमलव भिन्न के रूप में होते हैं, जो सामान्य गुणा – भाग की क्रियाओं से हल किए जा सकते हैं; जैसे –

     36/10 ÷ 24/25 ÷ 1/x = 15/32 × 48/25
     36/10 × 25/24 × x/1 = 15/32 × 48/25
         X = 15/32 × 48/25 × 10/36 × 24/25
            = 6/25

स्मरणीय सूत्र

1. a³ + b³ / a² – ab + b² = a + b
2. a² – b² / a – b = a + b
3. (a + b) (a – b) = a² – b²
4. (a + b)² = a² + 2ab + b²
5. (a – b)² = a² – 2ab + b²

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