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बीजगणितीय के 30 महत्त्वपूर्ण सूत्र (30 important formula of algebraic)

बीजगणितीय के 30 महत्त्वपूर्ण सूत्र (30 important formula of algebraic)

बीजगणितीय के सूत्र (Formulas of algebraic)

संख्याएँ दो प्रकार की होती हैं – चर (Variable) एवं अचर (Constant) 
चर संख्याएँ, वे होती हैं, जिनका मान अस्थिर रहता है; जैसे – a, b, x, y, . . . इत्यादि। अचर संख्याए, वे होती हैं, जिनका मान स्थिर रहता है, जैसे – 2, 3, 4, . . . इत्यादि। प्रायः चर संख्याओं का उपयोग कर विभिन्न गणितीय प्रश्नों को हल करने की विधियाँ गणित की शाखा (बीजगणित) के अन्तर्गत आती है। बीजगणित के इन्हीं सूत्रों के आधार पर विभिन्न प्रश्नों को हल किया जा सकता है।

स्मरणीय बिन्दु

1. जब दो धनराशियों को जोड़ा जाता है, तो जोड़ या योगफल भी एक धनराशि होती है।

          (+ a) + (+ b) = + (a + b)
 या            (a) + (b) = (a + b)
           
2. दो ऋण राशियों का योगफल एक ऋण राशि होती है।

          (- a) + (- b) = – (a + b)
         
3. एक ऋण राशि और दूसरी धनराशि का योगफल
         
          (+ a) + (- b) = + (a – b); यदि a > b = –       
                                     (b – a), यदि b > a
         
4. दो राशियो का घटाव
                   
                       a – b = a + (- b)
                   a – (-b) = a + b
              a – (b + c) = a – b – c
 या           a – (b – c) = a – b + c

5. दो राशियों का गुणनफल

              (+ a) × (+ b) = + (ab)
                (- a) × (- b) = + (ab)
               (+ a) × (- b) = – (ab)
               (- a) × (+ b) = – (ab)
             
6. अन्य गुणनफल
                (- a) × (- a) = + (a²)
              (+ a) × (+ a) = + (a²)
              (+ a) × (+ b) = (+ b ) × (+ a)
                (- a) × (- b) = (- b) × (- a)
                     (ab) × c = a × (bc)
                     (ab) × c = b × (ac)
                    a (b + c) = ab + ac
                     a (b – c) = ab – ac
    a (b + c + d + . . .) = ab + ac + ad + . . .
   
7. भाग
                  a ÷ b × b = a
                  a ÷ b ÷ c = a ÷ bc = a/b×c
                         a ÷ b = a × 1/b
                  (- ab) ÷ a = – b
             (- ab) ÷ (- b) = a
               (ab) ÷ (- a) = – b
               (ab) ÷ (- b) = – a
               
 प्रमुख सूत्र 

8. (a + b)² = a² + 2ab + b²

9. (a – b)² = a² – 2ab + b²

10. a² + b² = (a + b)² – 2ab

11. a² + b² = (a – b)² + 2ab

12. a² – b² = (a + b) (a – b)

13. a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

14. a⁴ – b⁴ = (a – b) (a³ + a²b + ab² + b³)

15. a⁵ – b⁵= (a – b) (a⁴ + a³b + a²b² + ab³     
                                                         + b⁴)

16. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

17. (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)

18. (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

19. (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b)

20. a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

21. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

22. (a + b + c) (a + b + c) = a² + b² + c²     
                                  + 2 (ab + bc + ca)

23. (a + b + c + d + . . .) (m + n + o + p 
         + . . . .) = a (m + n + o + p + . . .) + b   
          (m + n + o + p + …) + c (m + n +
          o + p + ….) + d (m + n + o + p 
         + ….)

24. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 (ab + 
                                                  bc + ca)

25. a³ + b³ + c³ – 3 abc = (a + b + c) (a² 
               + b² + c² – ab – bc – ca) = 1/2 (a + b + c) [(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²]
             
26. यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ =
                                                       3abc
       व्युत्पन्न सूत्र 
     
27. (a + b)² = (a – b)² + 4ab

28. x² + 1/x² = (x + 1/x)² – 2 = (x – 1/x)² + 
                                                                   2

29. x³ + 1/x³ = (x + 1/3)³ – 3 (x + 1/x)

30. x³ – 1/x³ = (x – 1/3)³ – 3 (x – 1/x)

 नोट – 27 से 30 तक के सूत्र महत्त्वपूर्ण सूत्रों से व्युत्पन्न सूत्र हैं। छात्रों को चाहिए कि महत्त्वपूर्ण सूत्रों के साथ – साथ व्युत्पन्न सूत्रों को भी कंठस्थ कर ले ताकि परीक्षा में कम समयावधि में तेजी से प्रश्न हल कर सकें।

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