Important facts and sources of Ratio and proportion (अनुपात तथा समानुपात के महत्त्वपूर्ण तथ्य एवं सूत्र)

अनुपात तथा समानुपात (Ratio and proportion)

अनुपात (Ratio)

      दो समान राशियों के तुलनात्मक अध्ययन को अनुपात कहते हैं। यदि a तथा b दो अशून्य संख्याएँ हैं, तो a तथा b के अनुपात को a : b द्वारा निरूपित करते हैं तथा a अनुपात b पढ़ते हैं।
   

समानुपात (Proportion) 

      यदि चार अशून्य संख्याएँ a, b, c तथा d इस प्रकार हैं, कि a : b = C : d, तो a, b,  तथा d समानुपात में है।
       यदि a : b : : C : d हो, तो ad = bc इसमें a तथा d को बाह्य पद तथा b और c को मध्य पद कहते हैं।
     
समानुपात से सम्बन्धित महत्त्वपूर्ण परिणाम (Important Results Related to Proportion) 
• यदि a, b, c, d चार अशून्य राशियाँ हैं, तो
  1. a : b : : c : d = b : a : : d : c (व्युत्क्रमानुपात)
  2. a : b : : c : d = a : c : : b : d (एकान्तरानुपात)
  3. a : b : : c : d = (a + b) : b : : (C + d) : d (योगानुपात)
  4. a : b : : c : d = (a - b) : b : : (c - d) : d (अन्तरानुपात)
  5. a : b : : c : d = (a + b) : (a - b) : : (c + d) : (c - d) ( योगान्तरानुपात )

चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional) 

      यदि चार अशून्य राशियाँ a, b, c तथा d समानुपात में हैं, तो d को a, b, c का चतुर्थानुपाती कहते हैं।
   

वितत् समानुपात (Continued Proportion)  

      तीन अशून्य संख्याएँ a, b तथा c वितत् समानुपात में होंगी,
      यदि        a / b = b / c
      यदि a , b , c वितत् समानुपात में है, तो
                    b² = ac
      यहाँ b को मध्यानुपाती कहते हैं तथा c को तृतीयानुपाती कहते हैं।

महत्त्वपूर्ण तथ्य एवं सूत्र

• यदि A : B = a : b तथा B : C = m : n हो, तो A : B : C = am : mb : nb तथा A : C = am : bn 
• यदि A : B = a : b, B : C = c : d तथा C : D = e : f हो, तो A : B : C : D = ace : bce : bde : bdf
• यदि X को a : b के अनुपात में बाँटे, तो पहला भाग = a/a+b × x तथा दूसरा भाग
       = b/a+b × x