Linear Equation ke top tips (रैखिक समीकरण के महत्त्वपूर्ण युक्तियाँ)

रैखिक समीकरण ( Linear Equation ) 

रैखिक समीकरण (Linear Equation)

       रैखिक बहुपद वाली समीकरण जिसमें चर राशि की घात एक हो, ऐसी समीकरण को रैखिक समीकरण कहते हैं।

एक चर वाली रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable)

       जिस रैखिक बहुपद समीकरण में चरों की संख्या एक होती है, उसे एक चर वाली रैखिक समीकरण कहते हैं|
     
       उदाहरण  2x + 3 = 7, y + 7 = 10
     

दो चर वाली रैखिक समीकरण (Linear Equation in Two Variables) 

       जिस रैखिक बहुपद समीकरण में चरों की संख्या दो होती हैं, उसे दो चर वाली रैखिक समीकरण या द्विचर समीकरण कहते हैं।
     
       उदाहरण  3x + 4y = 7, 4x + 3y = 9
     

रैखिक समीकरणों को हल करने की विधियाँ  (Methods of Solving Linear Equations)

        रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित विधियों का प्रयोग किया जाता है।

    (i) विलोपन विधि (Elimination Method)
    (ii) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

1. विलोपन विधि (Elimination Method) इस विधि में दी गई दोनों समीकरणों में किसी एक अज्ञात राशि के गुणांक को बराबर करके दोनों समीकरणों को जोड़ते अथवा घटाते हैं जिससे समान गुणांक वाले पद कट जाएँ। प्राप्त एक अज्ञात राशि की समीकरण को हल करने पर प्राप्त राशि के मान को दी गई किसी एक समीकरण में रखकर दूसरी अज्ञात राशि का मान प्राप्त कर लेते हैं।

    उदाहरणार्थ
    समीकरण    11x - 5y + 61 = 0   .......(i)
    तथा               3x - 20y - 2 = 0   .......(ii)
 
    का विलोपन अथवा निराकरण विधि से हल करने के लिए सर्वप्रथम x के गुणांकों को समान करने हेतु समी (i) को 3 से तथा समी (ii) को 11 से गुणा करने पर ,
      3 × (11x - 5y + 61) = 0
                     33x - 15y = - 183    .......(iii) तथा 11 × (3x - 20y - 2) = 0
                     33x - 220y = 22     ........(iv)
                   
समी (iv) को (iii) में से घटाने पर,
                   205y + 205 = 0
   या                               y = - 1
   y का मान समी (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

                 3x - 20 ×(-1) - 2 = 0
                 3x = -18 या x = -6
 
अत: समीकरण का हल
                     x = -6, y = -1

  2. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) इस विधि में किसी एक समीकरण से एक अज्ञात राशि का मान दुसरी अज्ञात राशि के पदों में ज्ञात करके दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करते है। इस प्रकार प्राप्त एक अज्ञात राशि की समीकरण को हल करके उस मान को दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरी अज्ञात राशि का मान प्राप्त करते हैं।

      उदाहरणार्थ  हम निम्न समीकरण - निकाय पर विचार करते है।
                   2x - y = 3           .......(i)
                   4x - y = 5           .......(ii)
                 
x को अचर मानते हुए सभी (i) को y के लिए हल करने पर
                   y = 2x - 3           .......(iii)
                 
प्राप्त होता है। अब समी (iii) से प्राप्त y के मान को समी (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

             4x - (2x - 3) = 5       .......(iv)

अब समी (ii) में से y का निराकरण हो गया है। परिणाम में प्राप्त समी (iv) अकेले x में समीकरण है।
समी (iv) को सरल करने पर,
                      2x + 3 = 5
                               x = 1
      x का मान समी (i) में रखने पर,
                      2 - y = 3
                            y = - 1
                   
      इस प्रकार दिए गए समीकरण निकाय का हल है।
                         x = 1, y = - 1